Matematiksel yöntemler, Ekonomi, Fizik, Coğrafya veya başka herhangi bir alan olsun, hemen hemen her alanda geniş bir kapsama sahiptir. Yüzey Alanı ve Hacim ile ilgili detaylı bilgi ve doğru kullanım, mükemmelliğe ulaşmak için önemlidir.
Her iki kavram da ölçümlerle ilgili gerçek hayat problemlerini çözerken önem kazanır ve Mensurasyon ünitesi altında incelenir. İntegrasyon Yöntemleri, düzensiz ve karmaşık yüzeylerin Alan ve Hacim hesaplamalarında uygulama alanı bulur.
Yüzey Alanı ve Hacim Arasındaki Farklar Nelerdir?
Yüzey Alanı ile Hacim arasındaki temel fark, Yüzey Alanının bir yüzeyin en üst katmanının kapladığı alanı ölçmesi veya başka bir deyişle, şekilleri/katıları oluşturan tüm şekillerin/düzlemlerin alanı olması, Hacmin ise bir şeklin/şeklin taşıma kapasitesinin veya şekil içinde kapladığı alanın ölçüsü olmasıdır.
Yüzey Alanı ve Hacim Arasındaki Karşılaştırma Tablosu (Tablo Halinde)
| Karşılaştırma Parametresi | Yüzey Alanı | Cilt |
|---|---|---|
| Tanım | Bir şeklin/katı maddenin en üst katmanını oluşturan tüm şekillerin/düzlemlerin alanıdır. | 3-D katı/şekil içinde bulunan boşluk veya içindeki hava miktarıdır. |
| Boyut | 2 Boyutlu bir kavramdır. Cevap her zaman m² veya cm² gibi bir birim karedir. | Bu 3 boyutlu bir kavramdır. Cevap her zaman m³ veya cm³ gibi bir birim küp cinsindendir. |
| Ne için hesaplandı? | Yüzey Alanı, düzlemdeki veya uzaydaki herhangi bir şekil için hesaplanabilir. | Hacim sadece katılar için hesaplanır çünkü 3 boyuta sahiptirler. |
| Gerçek hayattan örnekler | Maliyetleri hesaplamak için boyanacak duvarların alanını tahmin etmek için yüzey alanını buluyoruz. | Bir mağazada ne kadar mal bulundurulabileceğini tahmin etmek için Volume buluyoruz. |
| Hesaplama yöntemleri | Karmaşık şekiller/katılar için yay veya yay devri kavramını kullanarak entegrasyon. | Disk yöntemi, pul yöntemi veya silindirik kabuklar yöntemlerini kullanarak entegrasyon yoluyla. Bazı formüller, aşağıdaki gibi yöntemin özel durumlarıdır: Küp = S*S*S için |
| Bazı formüller önceden belirlenmiştir: Kare= S*S ve Küre=4πr² için |
Yüzey Alanı Nedir?
Yüzey Alanı, yüzeyin kapladığı toplam alandır. Yüzeyimizi 2 boyutlu bir düzleme dönüştürürsek ve ardından toplam alanı hesaplarsak, Yüzey Alanını elde ederiz. Herhangi bir şekil için hesaplanabilir, tek boyutlu bir doğru parçası için yüzey alanı sıfırdır.
Alan bir skaler olduğundan ve sadece büyüklüğe sahip olduğundan her zaman pozitif değerlere sahip olacağız. Yüzeyin boyutu ne olursa olsun, alanın iki boyutu vardır ve bu nedenle m² veya cm² veya mm² gibi birimlere sahip olacaktır.
Mimarlar tarafından yaygın olarak kullanılan bir kavramdır ve sıradan insanlar için bile çok önemli ve yararlıdır. Örneğin, duvarları boyamanın zamanını, hızını veya maliyetini tahmin etmek veya çitleri döşemek veya seçim bölgelerini sınırlandırmak vb. için.
Bazı Formüller:
- Kare : S*S
- Dikdörtgen : L*B
- Küre: 4πr²
- Koni. : πr(l+r)
Karmaşık şekillerin Alanını bulmak için çeşitli Yöntemler formüle edilmiştir: Yüzey Alanını bulma yöntemi, katı veya 3 boyutlu nesneyi bir düzlem eğrisinin dönüşü olarak görselleştirmektir. Örneğin, bir yarım daireyi döndürerek bir küre oluşturabiliriz. Bu durumda alan, kesilebilen çok küçük silindirik parçaların tüm kavisli yüzey Alanlarının toplamıdır. Burada integral devreye girer; alan, 2πf(x)√(1+(f'(x))²)’nin x=a’dan x=b’ye kadar x’e göre integraline eşittir.
Hacim nedir?
Hacim, taşıma kapasitesi veya bir katı/şekil içinde bulunan hava miktarıdır. İkiden fazla boyutu olan şekiller için hesaplanabilir.
Hacmin pozitif değerlerine sahip olacağız çünkü hacim skalerdir ve sadece büyüklüğe sahiptir. Hacim 3 boyutludur ve bu nedenle m³ veya mm³ veya cm³ gibi birimlere sahip olacaktır.
İşletmelerde depolama kapasitesini tahmin etmek için ve beherler, şırıngalar vb. bilimsel ekipmanlarda yaygın olarak kullanılır. Örneğin, tahıl çuvallarını depolamak veya ilaçları ölçmek için.
Bazı Formüller:
Küp : S*S*S
Küboid : L*B*H
Küre : ( 4/3) πr³
Koni: (1/3)πr²h
Karmaşık ve düzensiz şekillerin hacmini hesaplama yöntemleri:
- Dilimleme yoluyla hacim: Bir katının kesit alanı biliniyorsa, değişkenin etki alanı için alanı bir değişkenin fonksiyonu olarak integre ederek hacmi bulabiliriz.
- Disklere göre hacim: Katıları bir düzlem şeklin dönüşü olarak görselleştirerek. Daha sonra katının küçük ve küçük parçalarının kesit alanını tahmin edebiliriz. Hacim, x alanı için π(f(x))²’nin x’e göre integrali olacaktır.
- Pullara göre hacim: Bu durumda devrim katımız iki düzlem/eğri arasındaki bir bölgeden oluşur. Kesit alanı pul şeklinde olacaktır ve Hacim, x alanı için π[(f(x))²- (g(x))²]’nin x’e göre integrali olacaktır.
- Silindirik Kabuklarla Hacim: Yukarıdaki problemleri, kesit alanını hesaplamadan, katımızı çevrelenmiş çok ince silindirlerden oluşan bir cisim olarak görselleştirerek de çözebiliriz. Hacim, x aralığı için 2πxf(x)’in x’e göre integralidir.
Yüzey Alanı ve Hacim Arasındaki Temel Farklar
- Yüzey Alanı, bir yüzeyi/şekli oluşturan düzlemlerin Alanlarının toplamı iken Hacim, bir şekil/şekil/yüzey içinde kapsanan alandır.
- Yüzey Alanı m², cm² veya mm² birimleriyle 2 Boyutlu bir kavram iken Hacim m³, cm³ veya mm³ birimleriyle 3 Boyutlu bir kavramdır.
- Yüzey Alanı Daire, Kare, Dikdörtgen gibi 2 boyutlu şekiller için bulunabilir ancak Hacim onlar için bulunamaz. Her ikisi de Küp, Küre, Silindir veya Koni gibi 3 boyutlu katılar/şekiller için bulunabilir.
- Yüzey Alanı, boyanacak duvarların alanını tahmin etmek için bulunurken Hacim, duvarlardaki depolama kapasitesini tahmin etmek için bulunur.
- Alan, bir yayın veya bir yayın devrinin (şekle bağlı olarak) entegrasyonu ile hesaplanırken, Hacim bir yüzeyin devrinin entegrasyonu ile hesaplanır. Bu yöntemler, çok karmaşık fonksiyonlar dikkate alınırken kullanılır ve daha üst düzey çalışmaların bir parçasıdır.
Sonuç
Herkesin bu kavramları birbirinden ayırt etmesi çok önemlidir. Yüzey Alanı, bir yüzeyin en üst katmanının toplam alanı veya kesişimleri ile şekli oluşturan tüm düzlemlerin alanıdır ve Hacim, bu düzlemlerin kesişimleri arasındaki boşlukta doldurulabilen veya içine alınabilen hava miktarıdır.
