Hepiniz arkadaşlarınızla veya aile üyelerinizle film izlemek için sinema salonlarına gitmişsinizdir. Biletlerinizi rezerve ederken, sinema salonunda oturma düzeninin normalde nasıl yapıldığını hiç fark ettiniz mi? Bir önceki sıradaki koltuk sayısı her zaman bir sonraki sıradan belirli bir sayı kadar daha az olacaktır.
Bunu okuyan okuyucular ayrıca okur:
- Aritmetik Ortalama ve Geometrik Sıra Arasındaki Farklar Nelerdir?
- Aritmetik İlerleme ile Aritmetik Dizi Arasındaki Farklar Nelerdir?
- Geometrik Dizi ve Üstel Fonksiyon Arasındaki Farklar Nelerdir?
Bu oturma düzeni normalde bir aritmetik dizidir. Dolayısıyla, sabit bir sayı ile azalan veya artan bir dizinin aritmetik dizi olarak bilindiği söylenebilir. Öte yandan, geometrik bir dizi tamamen farklı bir şeydir. Çoğunuz çocukluk günlerinizde bir çeşit topla oynamışsınızdır.
İster futbol topu ister basketbol topu kullanın, yere her çarptığında zıpladığı yüksekliğin azalma eğiliminde olduğunu fark edeceksiniz. Zıplama yüksekliğindeki bu azalma geometrik bir dizi halindedir.
Bu nedenle, geometrik dizinin temelde her bir terimin belirli bir terimden diğerine aynı değerle çarpıldığı veya bölündüğü bir dizi olduğu söylenebilir. Bir terimin böldüğü veya çarptığı değer ortak oran olarak bilinir.
Aritmetik ve Geometrik Dizi Arasındaki Farklar Nelerdir?
Aritmetik ve Geometrik Dizi arasındaki temel fark, bir aritmetik dizinin ardışık iki terimi arasındaki fark sabit kalırken, bir geometrik dizinin ardışık iki terimi arasındaki oranın sabit kalmasıdır.
Bir aritmetik dizide ardışık iki terim arasındaki fark ortak fark olarak adlandırılır. Öte yandan, bir geometrik dizideki ardışık iki terimin oranı ortak oran olarak adlandırılır.
Aritmetik ve Geometrik Dizi Arasındaki Karşılaştırma Tablosu
| Karşılaştırma Parametresi | Aritmetik Dizi | Geometrik Sıralama |
|---|---|---|
| Tanım | Her yeni terimin bir önceki terimden belirli bir miktar farklılaştığı bir sayı listesidir. | Her yeni terimin sıfır olmayan ve sabit bir sayı ile çarpılarak hesaplandığı bir sayı dizisidir. |
| Tarafından Hesaplandı | Toplama veya Çıkarma | Çarpma veya Bölme |
| Tarafından Tanımlandı | Birbirini izleyen 2 terim arasındaki sabit fark. | Birbirini izleyen 2 terim arasındaki ortak oran. |
| Form | Doğrusal Form | Üstel Form |
Aritmetik Dizi Nedir?
Aritmetik dizi veya aritmetik ilerlemeden bahsettiğinizde, temel olarak ardışık 2 sayı arasındaki farkın her zaman sabit olduğu farklı sayılardan oluşan bir diziyi ifade eder.
Bu tür bir dizide fark, ilk terimin ikinci terimden çıkarılması anlamına gelir. Eğer 1, 4, 7, 10, 13… gibi bir dizi düşünürseniz, bu, 3 ise sabit farkın olduğu bir aritmetik dizidir.
Matematikteki diğer her şey gibi, aritmetik dizinin de bir formülü vardır. Bir aritmetik diziyi bulmak için kullanılan formül a, a+d, a+2d, a+3d ve bu şekilde devam eder. Bu formülde “a” ilk terimdir ve “d” ardışık 2 terim arasındaki ortak farktır.
Bir aritmetik dizinin davranışının büyük ölçüde ortak farka bağlı olduğunu bilmeniz önemlidir. Formüldeki ortak fark veya “d” pozitif ise, terimler pozitif bir şekilde büyüyecektir. Ancak, ortak fark negatifse, terimler negatif bir şekilde büyüyecektir.
Geometrik Dizi Nedir?
Matematikte geometrik dizi veya geometrik ilerleme, bir öncekinden sonraki her yeni terimin, bir önceki terimin ortak bir oranla çarpılmasıyla hesaplandığı farklı sayılardan oluşan bir dizidir. Bu ortak oran sabit ve sıfır olmayan bir sayıdır. Örnek olarak, 3, 6, 12, 24, vb. dizisi, ortak oranı 2 olan bir geometrik dizidir.
Geometrik dizinin de kendine ait bir formülü vardır. Bir geometrik dizinin normal biçimi a, ar, ar², ar³, ar4 vb. şeklindedir.
Herhangi bir geometrik dizide n’inci terimi bulmanız gerektiğinde, kullanılacak formül an = arn-1’dir, burada ortak oran “r” ve başlangıç değeri “a” verilecektir. Geometrik bir dizi söz konusu olduğunda hatırlamanız gereken bazı faktörler vardır. Eğer ortak oran pozitif ise, terimler de pozitif olacaktır.
Ancak, ortak oran negatifse, terimler negatif ve pozitif arasında değişecektir. Ortak oran 1’den büyükse, büyüme pozitif veya hatta negatif sonsuza doğru üstel bir biçimde olacaktır. Ortak oran 1 ise, ilerleme sabit bir dizi olacaktır.
Aritmetik ve Geometrik Dizi Arasındaki Temel Farklar
- Aritmetik dizi, sabit bir terimin bir önceki terimden çıkarılması veya eklenmesi ile hesaplanan bir sayı dizisidir. Ancak geometrik dizi, her yeni sayının bir önceki sayının sabit ve sıfır olmayan bir sayı ile çarpılmasıyla hesaplandığı bir sayı dizisidir.
- Bir aritmetik dizideki ardışık iki terim arasındaki fark “d” ile temsil edilen ortak fark olarak bilinir ve bir geometrik dizide terimlerin çarptığı veya böldüğü sayı “r” ile temsil edilen ortak oran olarak bilinir.
- Bir aritmetik dizi söz konusu olduğunda, varyasyon doğrusal bir formdadır. Öte yandan, geometrik bir dizi söz konusu olduğunda, varyasyon üstel bir formdadır.
- Bir aritmetik dizide, sayılar ortak farka bağlı olarak pozitif ya da negatif bir şekilde ilerleyebilir. Oysa geometrik dizide böyle bir kural yoktur, çünkü sayılar aynı dizi içinde alternatif olarak pozitif ve negatif bir şekilde ilerleyebilir.
Aritmetik ve Geometrik Dizi Hakkında Sıkça Sorulan Sorular (SSS)
Buna neden Geometrik Dizi deniyor?
Buna geometrik dizi denmesinin nedeni, sayıların bir sayıdan diğerine benzer bir değerle bölünerek veya çarpılarak gitmesidir.
Dizinin her aşamasında bölünen veya çarpılan sayıya ortak oran denir. Geometrik dizi, bir örüntünün benzersiz bir kuralını izleyen bir dizi rakamdır.
Bir Aritmetik Dizi Aynı Zamanda Geometrik Olabilir mi?
Matematikte aritmetik dizi, ortak fark olarak adlandırılan ardışık sayılar arasındaki varyansın sabit olduğu dizi olarak tanımlanır.
Öte yandan, geometrik dizi, ortak oran olarak bilinen ardışık sayılar arasındaki oranın sabit olduğu dizidir. Bu da bir dizinin hem geometrik hem de aritmetik olamayacağı anlamına gelir.
Sonsuz Geometrik Seri formülü nedir?
Sonsuz geometrik dizi, sonsuz bir geometrik dizinin toplamı olarak tanımlanır. Dizinin son rakamı yoktur. Bu tür bir sonsuz dizi a1+a1r+a1r2 +a1r3+…. içerir. Bu durumda a1 ilk rakamı, r ise ortak oranı ifade eder.
Sonlu bir geometrik dizinin toplamını hesaplayacaksınız. Sonsuz geometrik dizi durumunda, ortak oran birin üzerine çıktığında, serideki terimler artacak ve daha büyük sayılar eklediğinizde, nihai bir cevap elde etmek imkansız olacaktır. Tek cevap sonsuzluk olacaktır.
Diyelim ki r (ortak oran) -1 ile 1/ arasında olsun. Sonsuz bir geometrik dizinin toplamını elde edebilirsiniz. Yani, toplam r <1 için mevcuttur.
-1<r<1 olan sonsuz geometrik serilerin toplamı şu şekilde hesaplanır:
S=a1/1-r
Bir aritmetik dizide A nedir?
Bir aritmetik dizi, dizinin birbirini izleyen iki katılımcısı arasındaki farkın sabit bir terim olduğu ve aritmetik dizideki a’nın ilk terim olduğu terimler dizisini ifade eder.
Bir aritmetik dizinin n’inci terimini nasıl bulursunuz?
Bir aritmetik dizideki terimlerin ortak fark (d) kadar arttığı bilinmektedir. Örneğin, 2, 4, 6, 8, 10 bir aritmetik ilerlemedir ve d=2’dir.
Bu aritmetik dizinin n’inci terimini elde etmek için formül 2n+1’dir. Tipik olarak, 1. terimi ve ortak farkı olan bir aritmetik dizinin n. terimi a+ (n-1) d’dir.
Sonuç
Aritmetik dizi ve geometrik dizi arasındaki farklar hakkındaki bu ayrıntılı tartışmanın yardımıyla, şimdiye kadar bu konuda net olmalısınız. Bu 2 dizinin gerçek hayatta herhangi bir kullanımı olmadığını düşünüyorsanız, tekrar düşünmelisiniz. Her ikisinin de farklı günlük yaşamlarda bireysel kullanımları ve önemleri vardır.
Aritmetik diziler çeşitli finans sektörlerinde kullanılır ve tasarruflarınızı ve kişisel finansal artışlarınızı hesaplamak söz konusu olduğunda oldukça yararlı olabilir. Bununla birlikte, geometrik bir dizinin de kendi kullanım payı vardır. Farklı finans kurumları tarafından sağlanan faiz oranlarını hesaplamak ve ayrıca bir ülkenin nüfus artışını hesaplamak için kullanılır.
Verilen bir dizinin aritmetik bir dizi mi yoksa geometrik bir dizi mi olduğuna karar vermek söz konusu olduğunda öğrencilerin kafasının karıştığı sıklıkla görülmektedir. Aritmetik bir diziyi hesaplamak oldukça basit olmasına rağmen, asıl zorluk geometrik bir diziyi hesaplamakta yatmaktadır.
Referanslar
